پاسخ فعالیت صفحه 106 ریاضی یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 106 - فعالیت 1 در این فعالیت، هدف یادگیری نحوه رسم **تابع وارون** به صورت هندسی است. طبق اصول ریاضی، نمودار وارون یک تابع، قرینه نمودار اصلی نسبت به خط **نیم‌ساز ربع اول و سوم** (یعنی خط $y = x$) است. **گام اول: شناسایی نقاط کلیدی** ابتدا مختصات نقاط مشخص شده روی نمودار تابع $f(x) = 3^x$ را استخراج می‌کنیم: * نقطه $A = (2, 9)$ * نقطه $B = (1, 3)$ * نقطه $C = (0, 1)$ * نقطه $D = (-1, \frac{1}{3})$ **گام دوم: یافتن نقاط متناظر در تابع وارون** برای به دست آوردن نقاط تابع وارون ($f^{-1}$)، جای طول ($x$) و عرض ($y$) نقاط بالا را عوض می‌کنیم: * نقطه متناظر $A$ می‌شود $A' = (9, 2)$ * نقطه متناظر $B$ می‌شود $B' = (3, 1)$ * نقطه متناظر $C$ می‌شود $C' = (1, 0)$ * نقطه متناظر $D$ می‌شود $D' = (\frac{1}{3}, -1)$ **گام سوم: رسم نمودار** این نقاط جدید ($A'$, $B'$, $C'$, $D'$) را در دستگاه مختصات پیدا کرده و آن‌ها را با یک منحنی نرم به هم وصل می‌کنیم. مشاهده خواهید کرد که منحنی حاصل، دقیقاً قرینه منحنی آبی نسبت به خط‌چین صورتی ($y=x$) است. **جمع‌بندی آموزشی:** با این روش آموختیم که برای رسم وارون هر تابعی، کافی است جای مولفه‌های اول و دوم نقاط آن را عوض کرده و نمودار جدید را رسم کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 106 - فعالیت 2 این تمرین به درک عمیق‌تر رابطه بین **ورودی و خروجی** یک تابع و وارون آن می‌پردازد. به زبان ساده، اگر تابع $f$ عدد $a$ را به $b$ تبدیل کند، تابع وارون ($f^{-1}$) عدد $b$ را به $a$ برمی‌گرداند. **حل گام‌به‌گام برای تابع $f(x) = 3^x$:** * $f(0) = 3^0 = \mathbf{1}$ * $f(1) = 3^1 = \mathbf{3}$ * برای یافتن خروجی $9$، باید بدانیم $3$ به چه توانی برابر $9$ می‌شود: $3^2 = 9$، پس $f(\mathbf{2}) = 9$. **حل گام‌به‌گام برای تابع وارون $f^{-1}$:** با استفاده از نتایج بالا و جابجایی ورودی و خروجی: * چون $f(-2) = \frac{1}{9}$ است، پس $f^{-1}(\frac{1}{9}) = \mathbf{-2}$. * چون $f(0) = 1$ است، پس $f^{-1}(1) = \mathbf{0}$. * چون $f(1) = 3$ است، پس $f^{-1}(\mathbf{3}) = 1$ (جای خالی اول). * چون $f(2) = 9$ است، پس $f^{-1}(9) = \mathbf{2}$. **نکته آموزشی:** همیشه رابطه $f(a) = b \Leftrightarrow f^{-1}(b) = a$ را در ذهن داشته باشید.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 106 - فعالیت 3 در این بخش، یکی از مهم‌ترین مفاهیم ریاضی یعنی رابطه بین **توابع نمایی و لگاریتمی** را بررسی می‌کنیم. **تحلیل دامنه و برد:** در فصل‌های قبل آموختیم که در توابع وارون، دامنه تابع اصلی برابر با برد تابع وارون و برد تابع اصلی برابر با دامنه تابع وارون است. 1. **برای تابع نمایی $f(x) = 3^x$:** * **دامنه:** تمام اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$ یا $(-\infty, +\infty)$). * **برد:** اعداد حقیقی مثبت ($(0, +\infty)$). 2. **برای تابع لگاریتمی $f^{-1}(x) = \log_3 x$:** * **دامنه:** برابر با برد تابع نمایی است، یعنی اعداد حقیقی مثبت (**$(0, +\infty)$**). * **برد:** برابر با دامنه تابع نمایی است، یعنی تمام اعداد حقیقی (**$\mathbb{R}$**). **نکته بسیار مهم:** به همین دلیل است که ما نمی‌توانیم لگاریتم یک عدد منفی یا صفر را محاسبه کنیم، زیرا دامنه تابع لگاریتمی فقط شامل اعداد مثبت است. **جمع‌بندی:** تابع لگاریتمی ابزاری است برای پیدا کردن «توان». وقتی می‌گوییم $\log_3 9 = 2$، یعنی از خود می‌پرسیم 3 به چه توانی برابر 9 می‌شود؟ جواب عدد 2 است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 106 - فعالیت 4 این سوال از ما می‌خواهد که ویژگی‌های توابع نمایی و لگاریتمی را در حالت کلی (برای هر مبنای مثبت $a$ مخالف 1) بیان کنیم. **1. تابع نمایی $y = a^x$:** * **دامنه:** مجموعه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$). * **برد:** بازه **$(0, +\infty)$**. **2. تابع لگاریتمی $y = \log_a x$:** * **دامنه:** بازه **$(0, +\infty)$** (فقط اعداد مثبت ورودی می‌گیرند). * **برد:** مجموعه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$). **جمع‌بندی نهایی:** * توابع نمایی و لگاریتمی **معکوس** یکدیگر هستند. * در توابع نمایی، خروجی همیشه مثبت است. * در توابع لگاریتمی، ورودی باید همیشه مثبت باشد.